反函数的定义及性质？反函数的定义及公式

本文目录

• 反函数的定义及性质
• 反函数的定义及公式
• 反函数的概念是什么
• 一、 反函数概念 1、 定义； 2、 理解； 3、 求反函数基本步骤及注意事项
• 反函数的概念及其一般求法

反函数的定义及性质

反函数定义：

一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A，如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f(x)，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，通常为了与习惯一致，我们对调函数x=f-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f-1(x)。

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

扩展资料

反函数求解步骤：

①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域

②由y=f(x)反解出x=f-1(y)，即把x用y表示出来

③将x，y互换的：y=f-1(x)，并写出反函数的定义域

例题：求f(x)=ex-1的反函数f-1(x)的解析式

解：

∵f(x)=ex-1，可知f(x)的值域为(-1，+∞)

已知y=ex-1

可得ex=y+1，即得：x=ln(y+1)

∴f-1(x)=ln(x+1)，且x∈(-1，+∞)

反函数的定义及公式

理解反函数的概念，掌握求反函数的方法步骤。
设有函数，
若变量y在函数的值域内任取一值y时，
变量x在函数的定义域内必有一值x与之对应，
所以，那么变量x是变量y的函数.
这个函数用来表示，称为函数的反函数.
　　(1)
由原函数y=f(x)求出它的值域；
　　(2)
由原函数y=f(x)反解出x=f-1(y)；
　　(3)
交换x，y改写成y=f-1(x)；
　　(4)
用f(x)的值域确定f-1(x)的定义域。
我们知道，函数y=f(x)若存在反函数，则y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)有如下性质：
　　性质　
若y=f-1(x)是函数y=f(x)的反函数，则有f(a)=bf-1(b)=a。
　　这一性质的几何解释是y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称。

反函数的概念是什么

反函数是对一个给定函数做逆运算的函数，一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数存在的条件为原函数的函数关系必须是一一对应的（不一定是整个数域内的），它的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域。

一、 反函数概念 1、 定义； 2、 理解； 3、 求反函数基本步骤及注意事项

定义　　一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
性质
　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；
　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
　　（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0}.）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。
　　（5）一切隐函数具有反函数；
　　（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
　　（8）反函数是相互的且具有唯一性；
　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
　　（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2））。
　　例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
　　y=2^x的反函数是y=log2 x
　　例题：求函数y=3x-2的反函数
　　解：y=3x-2的定义域为R，值域为R。
　　由y=3x-2，解得
　　x=(y+2)/3
　　将x，y互换，则所求y=3x-2的反函数是
　　y=(x+2)/3（x属于R）
　　（11）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f’（y）≠0，那么它的反函数y=f’（X）在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且’。
　　（12）y=x的反函数是它本身。
说明
　　⑴在函数x=f^(-1)(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^(-1)(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^(-1)(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。　
　　⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^(-1)(x)，那么函数y=f’(x)的反函数就是y=f^(-1)(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^(-1)(x)互为反函数。
　　⑶互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性。单调函数才有反函数，如二次函数在R内不是反函数，但在其单调增（减）的定义域内，可以求反函数。
　　⑷ 从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^(-1)(x)的定义域（如下表）：
　　函数：y=f(x)
　　反函数：y=f^(-1)(x)　
　　定义域： A C　
　　值域： C A　
　　⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为：
　　若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数y=f^(-1)(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数y=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 开始的两个例子：s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^(-1)(s)=s/v，同样y=2x+6记为f(x)=2x+6，则它的反函数为：f^(-1)(x)=x/2-3.　
　　有时是反函数需要进行分类讨论，如：f(x)=x+1/x，需将x进行分类讨论：在x大于0时的情况，x小于0的情况，多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
应用
　　直接求原函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域，求反函数的步骤是这样的：
　　1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；　
　　（我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求反函数的定义域是求反函数的第一步）　
　　2、反解x，也就是用y来表示x；
　　3、改写，交换位置，也就是把x改成y，把y改成x；　
　　4、写出原函数及其值域。　
　　实例：y=2x+1（值域：任意实数）
　　x=(y-1)/2
　　y=(x-1)/2（x取任意实数）
　　特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数，它的反函数都是它本身。
　　反函数求解三步骤：
　　1、换：X、Y换位
　　2、解：解出Y
　　3、标：标出定义域

反函数的概念及其一般求法

当一个函数的定义域中每一个x,都与值域中的y形成一种,双向的一一对应,那么函数就存在反函数了.
函数f,可以把a变成b；这是某种函数,某种映射,或者叫做某种运算关系
那么f的逆函数,就是一种逆关系,逆映射,把b变成a
具体运算的话,假如函数是一一对应的,1个x和1个y唯一的彼此相关联,那么只要对式子反求解x就好了.
比如y=5x-2,这是原函数,反函数要做的是x、y互换位置,x=5y-2,整理,得到y=（x+2）/5就是这样了.
再比如y=x/(x-2),互换xy,得到x=y/（y-2）所以xy-2x=y,xy-y=2x,y=2x/(x-1)就是其反函数了.